☛ Équation différentielle avec changement de variable (Pondichéry, avril 2006)

\(\) 1.

\(g'(t)=\dfrac{f'(t)}{f(t)} = -\dfrac{1}{20}[3-\ln(f(t))] = \dfrac{1}{20}\ln(f(t))+\dfrac{3}{20} = \dfrac{1}{20}g(t)+\dfrac{3}{20}\)

Réciproquement,

\(\begin{array}[t]{lcl}g'(t) = \dfrac{1}{20}g (t) - \dfrac{3}{20} & \Leftrightarrow & \dfrac{f'(t)}{f(t)} = \dfrac{1}{20}\ln(f(t)) - \dfrac{3}{20} \\ g'(t) = \dfrac{1}{20}g (t) - \dfrac{3}{20} & \Leftrightarrow & f'(t)=f(t)\left(\dfrac{1}{20}\ln(f(t)) - \dfrac{3}{20}\right) = -\dfrac{1}{20}f(t)\left[3-\ln(f(t))\right]\end{array}\)

2.  \(t\mapsto C\text e^{\frac{t}{20}}+3\) , où \(C\) est un réel.

3. Comme \(f\) est solution de \(\mathrm{(E) }\)  alors \(\ln(f)\) est solution de \(\mathrm{(H)}\) . Donc il existe un réel \(C\) tel que pour tout réel \(t\) , \(\ln(f(t)=C\text e^{\frac{t}{20}}+3\) . Alors \(f(t)=\text e^{C\text e^{\frac{t}{20}}+3}\) .

4. a. Lorsque \(t\to+\infty\) , \(\dfrac{t}{20}\to +\infty\) , puis par composition \(\exp\left(\dfrac{t}{20}\right) \to +\infty\) .
Par produit,  \(- 3 \text{exp}\left(\dfrac{t}{20}\right) \to -\infty\) .
Par somme,  \(3 - 3 \text{exp}\left(\dfrac{t}{20}\right)\to -\infty\) .
Enfin, par composition \(\displaystyle \lim_{t\to+\infty} f(t)=0\) .

    b. Par dérivée d'une composée, pour tout réel \(t\geqslant 0\) , \(f'(t)=\left(-\dfrac{3}{20}\text e^{\frac{t}{20}}\right)\text e^{3-3\exp\left(\frac{t}{20}\right)}\) .
Or, pour tout réel \(t\geqslant 0\) ,  \(-\dfrac{3}{20}\text e^{\frac{t}{20}}<0\) , donc pour tout réel \(t\geqslant 0\) , \(f'(t)<0\) .
Donc \(f\) est décroissante sur \([0~;+\infty[\) .

    c.

\(f(t)<0{,}02 \Leftrightarrow 3-3\text e^{\frac{t}{20}}<\ln(0{,}02) \Leftrightarrow 1-\dfrac13\ln(0{,}02)<\text e^{\frac{t}{20}}\Leftrightarrow 20\ln\left[1-\dfrac13\ln(0{,}02)\right].
Or, \(20\ln\left[1-\dfrac13\ln(0{,}02)\right] \approx 16{,}69\) , donc, à partir de 17 ans, la taille de l'échantillon sera inférieure à 20 individus.